Teoremas de cálculo útiles, fórmulas y definiciones

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A continuación se presentan algunos de los teoremas, fórmulas y definiciones más frecuentemente utilizados que se encuentran en una clase de cálculo para una sola variable. La lista no es exhaustiva, pero debería cubrir los elementos que usará con más frecuencia.

Definición de límite de un derivado

Definición: Continuo en un número a

El Teorema del Valor Intermedio

Definición de un número crítico

Un número crítico de una función f es un número c en el dominio de f tal que f'(c)= 0 o f'(c) no existe.

Teorema de Rolle

Que sea una función que satisfaga las siguientes tres hipótesis:

  • f es continuo en el intervalo cerrado[a, b].
  • f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b).
  • f(a)= f(b).

Entonces hay un número c en (a, b) tal que f'(c)= 0.

El teorema del valor medio

Que sea una función que satisfaga las siguientes hipótesis:

  • f es continuo en el intervalo cerrado[a, b].
  • f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b).

Fórmula de Aproximación del Método Newton

El método de Newton es una técnica que intenta encontrar la raíz de una ecuación. Para empezar, intentas elegir un número que esté “cerca” del valor de una raíz y llamas a este valor x1. Escoger x1 puede implicar algún ensayo y error; si se trata de una función continua en algún intervalo (o posiblemente en toda la línea real), el teorema del valor intermedio puede reducir el intervalo en consideración. Después de seleccionar x1, se utiliza la fórmula recursiva dada aquí para encontrar aproximaciones sucesivas:

Una palabra de precaución: Siempre verifique que su aproximación final sea correcta (o cercana al valor de la raíz). El método de Newton puede fallar en algunos casos, basado en el valor elegido para x1. Cualquier texto de cálculo que cubra el método de Newton debe señalar estas deficiencias.

El Teorema Fundamental del Cálculo

Supongamos que f es continuo en[a, b]. Entonces las siguientes afirmaciones son ciertas:

La regla del trapecio

dónde

La regla de Simpson

donde n es parejo y

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