Entendiendo el Intervalo de Convergencia

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Por Mark Zegarelli

A diferencia de las series geométricas y las series p, una serie de potencias a menudo converge o diverge en función de su valor x. Esto conduce a un nuevo concepto cuando se trata de series de potencia: el intervalo de convergencia.

El intervalo de convergencia para una serie de potencias es el conjunto de valores x para el que converge dicha serie.

El intervalo de convergencia nunca está vacío

Cada serie de potencias converge por algún valor de x. Es decir, el intervalo de convergencia para una serie de potencias nunca es el conjunto vacío.

Aunque este hecho tiene implicaciones útiles, en realidad es bastante obvio. Por ejemplo, eche un vistazo a la siguiente serie de potencias:

Cuando x = 0, esta serie se evalúa a 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + …., por lo que obviamente converge a 1. De forma similar, eche un vistazo a esta serie de potencias:

Esta vez, cuando x = -5, la serie converge a 0, tan trivialmente como el último ejemplo.

Nótese que en ambos ejemplos, la serie converge trivialmente en x = a para una serie de potencias centrada en a.

Tres posibilidades para el intervalo de convergencia

Existen tres posibilidades para el intervalo de convergencia de cualquier serie de potencias:

  • La serie converge sólo cuando x = a.
  • La serie converge en algún intervalo (abierto o cerrado en cada extremo) centrado en a.
  • La serie converge para todos los valores reales de x.

Por ejemplo, suponga que desea encontrar el intervalo de convergencia para:

Esta serie de potencias está centrada en 0, por lo que converge cuando x = 0. Utilizando la prueba de relación, puede averiguar si converge para cualquier otro valor de x. Para empezar, establezca el siguiente límite:

Para evaluar este límite, comienza por cancelar xn en el numerador y denominador:

A continuación, distribuya para eliminar los paréntesis en el numerador:

En su estado actual, este límite es de la forma

así que aplica la Regla de L’Hopital, diferenciando sobre la variable n:

A partir de este resultado, la prueba de relación le indica que la serie:

  • Converge cuando -1 < x < 1
  • Diverge cuando x < -1 y x > 1
  • Puede converger o divergir cuando x = 1 y x = -1

Afortunadamente, es fácil ver lo que sucede en estos dos casos restantes. Así es como se ve la serie cuando x = 1:

Claramente, las series divergen. De manera similar, esto es lo que se ve cuando x = -1:

Esta serie alternante oscila entre los valores negativos y positivos, por lo que también difiere.

Como último ejemplo, supongamos que desea encontrar el intervalo de convergencia para la siguiente serie:

Esta serie está centrada en 0, por lo que converge cuando x = 0. La pregunta real es si converge para otros valores de x. Debido a que esta es una serie alterna, se aplica la prueba de relación a la versión positiva de la misma para ver si se puede demostrar que es absolutamente convergente:

Primero que nada, quieres simplificar esto un poco:

Luego, se expanden los exponentes y los factoriales:

En este punto, muchas cancelaciones son posibles:

Este tiempo, el límite cae entre -1 y 1 para todos los valores de x. Este resultado le indica que la serie converge absolutamente para todos los valores de x, por lo que la serie alterna también converge para todos los valores de x.

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