El Cociente de la Diferencia: El Puente entre el Álgebra (Pendiente) y el Cálculo (el Derivado)

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Una de las piedras angulares del cálculo es el cociente de diferencia. El cociente de diferencia – junto con los límites – le permite tomar la antigua fórmula regular de pendiente que usó para calcular la pendiente de las líneas en la clase de álgebra y usarla para la tarea de cálculo de la pendiente (o derivada) de una curva. Así es como funciona.

En el siguiente ejemplo, desea encontrar la pendiente en un punto de la parábola.

Para calcular la pendiente, se necesitan dos puntos para conectarse a esta fórmula. Para una línea, esto es fácil. Sólo tienes que elegir dos puntos cualquiera de la línea y conectarlos.

Puedes ver la línea dibujada tangente a la curva en (2, 4), y como la pendiente de la línea tangente es la misma que la pendiente de la parábola en (2, 4), todo lo que necesitas es la pendiente de la línea tangente. Pero no conoces la ecuación de la línea tangente, así que no puedes obtener el segundo punto -además del (2, 4)- que necesitas para la fórmula de la pendiente.

Así es como los inventores del cálculo sortearon esta barricada.

La figura de arriba es la gráfica de y = x2 con una línea tangente y una línea secante. Muestra de nuevo la línea tangente y una línea secante que cruza la parábola a (2, 4) y a (10, 100).

Una línea secante es una línea que cruza una curva en dos puntos. Esto es un poco simplificado, pero servirá.

La pendiente de esta línea secante viene dada por la fórmula de pendiente:

Puedes ver que esta línea secante es un poco más empinada que la línea tangente, y por lo tanto la pendiente de la secante, 12, es más alta que la pendiente que estás buscando.

Ahora añade un punto más en (6, 36) y dibuja otra secante usando ese punto y (2, 4) de nuevo. Véase la figura anterior.

Calcule la pendiente de esta segunda secante:

Se puede ver que la pendiente de esta línea de secante es una mejor aproximación de la pendiente de la línea tangente que la pendiente de la primera secante.

Ahora, imagina lo que pasaría si agarras el punto en (6, 36) y lo deslizas por la parábola hacia (2, 4), arrastrando la línea secante junto con él. ¿Puedes ver que a medida que el punto se acerca más y más a (2, 4), la línea secante se acerca más y más a la línea tangencial, y que la pendiente de esta secante se acerca más y más a la pendiente de la tangente?

Así, puedes obtener la pendiente de la tangente si tomas el límite de la pendiente de esta secante en movimiento.

Así que aquí está el límite que necesitas:

Observa lo que sucede con este límite cuando conectas tres puntos más en la parábola que están cada vez más cerca (2, 4):

Cuando el punto se desliza a (2.01, 4.0401), la pendiente es 4.01

Cuando el punto se desliza a (2.001, 4.004001), la pendiente es 4.001

Parece que la pendiente se dirige hacia la 4.

Como con todos los problemas de límite, la variable en este problema, la ejecución, se acerca pero nunca llega a cero. Si llegara a cero – lo que ocurriría si deslizases el punto que agarraste a lo largo de la parábola hasta que estuviera realmente encima de (2, 4) – tendrías una pendiente de 0/0, que es indefinida. Pero, por supuesto, esa es precisamente la pendiente que usted quiere – la pendiente de la línea cuando el punto aterriza encima de (2, 4). Aquí radica la belleza del proceso límite.

Y la pendiente de la línea tangencial es -usted lo adivinó- la derivada.

La derivada de una función, f(x), en algún número x = c, escrita como f'(c), es la pendiente de la línea tangente a f dibujada en c.

Bien, aquí está la forma más común de escribir el cociente de diferencia (puede que te encuentres con otras formas equivalentes).

Echa un vistazo a la siguiente figura, que muestra cómo un límite produce la pendiente de la línea tangente en (2, 4).

Haciendo la matemática se obtiene, por fin, la pendiente de la línea tangente en (2, 4):

Así que la pendiente es 4. (Por cierto, es una coincidencia sin sentido que la pendiente en (2, 4) sea la misma que la coordenada y del punto.)

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