Ejemplo de trabajo en varios dominios: Lleve el filtro pasa-bajas RC al dominio Z

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Señales y sistemas para maniquíes

Por Mark Wickert

Trabajar entre dominios es una realidad como ingeniero informático y electrónico. La resolución de tareas reales de ingeniería eléctrica y computación requiere que asimile la amplia gama de conceptos y técnicas de señales y sistemas y las aplique de una manera inteligente y eficiente. He aquí un ejemplo de un problema que muestra cómo funcionan realmente el análisis y el modelado a través del tiempo, la frecuencia y los dominios s y z.

Este ejemplo funciona en sistemas de tiempo continuo y discreto.

El filtro de paso bajo de condensador en derivación de resistencia en serie (RC) es un ejemplo de un sistema LTI que está representado por una ecuación diferencial LCC de primer orden. Aquí está la fórmula para la respuesta de impulso y la función del sistema:

RC es la constante de tiempo asociada a la resistencia en serie y al condensador en derivación que define el circuito de filtro. Este problema le pide que encuentre un filtro simple de tiempo discreto equivalente.

Supongamos que h[n] = h(nT) = h(n/fs). La transformación de Laplace (LT) de h(t) después del muestreo es

Este resultado indica que el muestreo de una respuesta de impulso de tiempo continuo mapea el plano s al plano z a través de z = esT. (Esta conexión es parte de la figura.) Para la respuesta de impulso del filtro RC en particular, el polo en s = -1/(RC) se asigna a un polo en z = e-T/RC en el plano z.

Porque e-T/(RC)

En un sentido más amplio, la transformación z = esT mapea el plano s de la mitad izquierda al interior del círculo de la unidad en el plano z y el plano s de la mitad derecha al exterior del círculo de la unidad en el plano z. El eje jω del plano s se mapea al círculo de unidades, que es donde se encuentra jω en el plano z.

El mapeo ocurre repetidamente debido a la teoría del muestreo. El aliasing de la respuesta de frecuencia del filtro también ocurre, a menos que sea limitado en banda (cero) para f > fs/2.

Para completar el diseño del filtro, coloque la respuesta de impulso muestreada en la definición de transformación z:

Ajustar el diseño para la implementación

Este filtro es como h[n] = anu[n] para 0 < a < 1, with the scale factor 1/(RC) and a = e–T/(RC). One detail remains that the design procedure hasn’t taken care of, and that’s ensuring that the filter gain at frequencies is preserved, in particular f = 0.

En el dominio de tiempo continuo, esto significa encontrar H(s = j0) = 1/(RC)/[j0 + 1/(RC)] = 1 y elegir un factor de ganancia G para colocar delante de HRC(z) para forzar que la ganancia sea también una a z = ej0 = 1:

Al final, con el valor G incluido, usted tiene

Para implementar este filtro en una aplicación, se necesita la representación de la ecuación de diferencia de este filtro. La función del sistema es la relación entre la salida y la entrada en el dominio z: HRC(z) = Y(z)/X(z). Para encontrar la ecuación de diferencia, primero necesitas multiplicar X(z) por el numerador de HRC(z) a la derecha y multiplicar el denominador por X(z) a la izquierda:

A continuación, aplique la transformación en z inversa en los lados izquierdo y derecho, utilizando las propiedades de linealidad y retardo de la transformación en z:

Realice la comparación de la respuesta de frecuencia de Python

Utilice Python para echar un vistazo rápido a la magnitud de la respuesta de frecuencia del filtro analógico original y a la realización del filtro digital. La constante de tiempo del filtro pasabajos analógico está relacionada con la frecuencia de corte del filtro de 3dB (donde 20log10|H(f3dB)| = -3,0) vía f3dB = 1/(2πRC).

Aquí, ajuste f3dB = 100 Hz y barra la frecuencia logarítmicamente de 0,1 Hz a 100 kHz. Ajustar la frecuencia de muestreo fs = 1/T = 200 KHz y reconocer que el filtro digital sólo será útil para 0 ≤ f ≤ fs/2 en hertz o lo siguiente en radianes por muestra:

La magnitud de la respuesta de frecuencia en dB para ambos filtros se muestra en la siguiente figura. Observe en particular que las respuestas se superponen excepto cuando f está muy cerca de la frecuencia de plegado de 100 kHz.

En[25]: f = espacio de registro(-1,5,500)En[26]: RC = 1/(2*pi*100)En[27]: w,Hs = señal.freqs([1/RC],[1,1/RC],2*pi*f)En[28]: a = exp(-1/(RC*2e5))En[29]: w,Hz = señal.freqz([1-a],[1, -a],2*pi*f/2e5)En[30]: semilogx(f,20*log10(abs(Hs)))En[31]: semilogx(f,20*log10(abs(Hz))En[32]: axis([1e-1,1e5,-60,5])

Crédito: Ilustración de Mark Wickert, PhDLa

comparación de respuesta entre los dos filtros es buena. El hecho de que la respuesta del filtro digital se encuentre por encima de la respuesta analógica cerca de fs/2 se debe al aliasing en la respuesta de frecuencia. Los enfoques de diseño de filtros digitales alternativos pueden mitigar esto, pero no sin algunas compensaciones. Eso es ingeniería.

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